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Lendo Euclides por Beppo Levi 2013/09/03

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A matemática e a geometria sob um olhar renovador.

Editora Civilização Brasileira – Rio de Janeiro – 2008
(um selo da editora record ltda)

Tradução do espanhol (Leyendo a Euclides)

Ao publicar sua monumental obra Elementos, Euclides de Alexandria (360 a.C. a 295 a.C.), criador da geometria euclidiana, tornou-se o mais importante matemático da Antiguidade greco-romana e talvez de todos os tempos.

A obra abrange toda a aritmética, a álgebra e a geometria conhecidas até então no mundo grego, sistematiza o conhecimento geométrico dos antigos e intercala os teoremas já conhecidos com a demonstração de muitos outros, que completam lacunas e dão coerência e encadeamento lógico ao sistema que ele criou.

Em Elementos, Euclides introduziu o formato (ou método) axiomático, que é, em grande medida, o paradigma do modo de operar da razão matemática. Seus axiomas cristalizaram uma estética quase imperativa para essa razão: a estética do equilíbrio delicado entre simplicidade e alcance, entre o mínimo de pressupostos e o máximo de consequências deriváveis. A genialidade do modelo euclidiano reside em que a partir de noções elementares como ponto, reta, círculo e juntamente com apenas cinco axiomas, é possível desenvolver análises que abrangem toda a geometria clássica.

Beppo Levi escreveu “Lendo Euclides” em 1947, e já nesta época era reconhecido na comunidade científica como alguém que formulou as bases do ensino claro e do respeito pela investigação científica, na qual deve prevalecer o rigor lógico. Seu objetivo era atrair a atenção dos leitores não matemáticos para o estudo dos conceitos fundamentais da geometria e da filosofia por meio da reflexão e da análise cuidadosa de Elementos. Neste livro não é o matemático profissional quem escreve, mas o estudioso que transmite sua paixão pela matemática, pela história e pela filosofia. Ao fazer essa leitura e vem a tona a reflexão de um diálogo que atravessa mais de vinte e dois séculos e permite aprender Euclides com olhos modernos. Os leitores terão a oportunidade de reaprender a geometria pelas mãos de um célebre matemático.

Beppo Levi nasceu em Turim, na Itália, em 1875. Doutorou-se em 1896, com apenas 21 anos e a partir de 1906 foi professor nas universidades de Cagliari, Parma e Bolonha. em 1938, devido à perseguição anti-semita do regime fascista de Mussolini, teve de emigrar com sua família. estabeleceu-se na cidade de Rosario, na Argentina, onde viveu até sua morte em 1961. Lá fundou o Departamento de Matemática da Universidad Nacional del Litoral – que hoje leva seu nome – e influenciou na formação de grandes cientistas argentinos.

Euclides dois mil anos depois

Entre diversas coisas, conjecturou e demonstrou que existem infinitos números primos (indivisíveis). Ganhou a vida dando aulas de matemática a curiosos, desejosos de aprender para saber, não para fazer. Conta a tradição que quando um aluno novato lhe perguntou que proveito material poderia obter com o estudo da matemática, Euclides teria chamado seu escravo e lhe teria dito: “Dê uma moeda de ouro a esse infeliz, já que ele pensa que deve ganhar para aprender”.

É muito possível que Euclides tenha estado conectado com o Museu de Alexandria, visto que nesse instituto estatal de investigações científicas e humanísticas se havia congregado a flor e a nata da intelectualidade da época. Os pesquisadores do Museu recebiam salários do tesouro real para produzir conhecimentos que raras vezes tinham aplicação prática. Só formavam e proviam cérebros curiosos e engenhosos, a começar pelos próprios. Quantos estadistas do nosso século entendem que o conhecimento básico é o mais útil, por ser utilizável em múltiplos campos?

A principal obra de Euclides, intitulada Elementos, é o livro antigo mais estudado da História. Reúne e sistematiza os conhecimentos geométricos de seu Tempo. Por isso já se disse que Euclides não foi original: apenas compilou invenções alheias. Os que repetem essa tese desconhecem que Euclides construiu a primeira teoria propriamente dita registrada pela História, o sistema Hipotético-Dedutivo. Antes dele, a matemática era um amontoado de resultados soltos; a partir dele, foi se convertendo em um conjunto de sistemas relacionados entre si.

Euclides introduziu explicitamente o formato (também chamado método) axiomático, que consiste em começar listando os conceitos básicos e os postulados – ou seja, ideias não deriváveis de outras ideias no mesmo sistema – e derivar (definir ou deduzir) os demais a partir deles.

A axiomática serve de parâmetro para a organização racional e econômica de qualquer corpo de conhecimentos, sejam matemáticos, físicos, econômicos, filosóficos ou outros. Spinoza, por exemplo, a utilizou em sua grande obra “Ética”. Hoje, os filósofos a empregam para esclarecer, sistematizar e provar ideias em qualquer ramo da filosofia.

David Hilbert, no final do século XIX, exaltou e advertiu para as virtudes da axiomática. Utilizou-a em matemática e em física, e a tornou seu cânone (Hilbert, 1918). Entre estas virtudes figuram as seguintes:

– economia
– aceleração da dedução
– facilitação do exame de coerência lógica
– esclarecimento de suposições
– individualização dos conceitos básicos ou primitivos (definidores) e busca de fundamentos cada vez mais profundos.

Essas virtudes tornam quase plausível a anedota segundo a qual Blaise Pascal, aos 14 anos, teria reconstruído por sua própria conta a maior parte da geometria euclidiana a partir de seus postulados.

No entanto, o método axiomático pode enganar, ao sugerir que basta um sistema de axiomas para deduzir todos os teoremas em um campo definido. De fato, salvo nos casos das consequências imediatas (corolários), é preciso agregar suposições, tais como construções, exemplos ou lemas (proposições tomadas de campos fronteiriços). Por exemplo para provar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos retos, convém começar traçando uma reta paralela a um dos lados. Outros teoremas euclidianos requerem outras construções (ad hoc) mais ou menos engenhosas. Talvez por esse motivo Einstein, já famoso e sempre muito ocupado, tenha se dado ao trabalho de escrever uma carta ao psicólogo Wertheimer expondo duas provas diferentes do teorema geométrico do antigo Menelau. [minha anotação: também Einstein trabalhando por muitos anos no escritório de patentes na Suiça, deve ter visto, lido, analisado centenas de tratados, teoremas, ideias, roteiros, etc].

Isso, junto com sua sistemática e seu rigor lógico, faz com que o estudo da geometria euclidiana seja possivelmente mais formativo do que o da geometria analítica ou o do cálculo infinitesimal. Essas teorias possuem algoritmos (regras) que podem se aplicar uniformemente e, em muitos casos, mecanicamente. Esse, além da inércia secular, é um dos motivos que os Elementos se tornou um dos livros mais difundidos em todo mundo durante dois milênios. Seu estudo exige tanto engenho e empenho quanto rigor. Forma tanto matemáticos quanto advogados.

A lógica da geometria de Euclides, em particular sua sistemática e coerência, continua suscitando admiração. Não causa surpresa que um matemático moderno como Beppo Levi lhe tenha dedicado um estudo profundo ainda que sem a carga erudita habitual. Nem é de se estranhar, também, que este livro do matemático ítalo-argentino desperte a curiosidade de leitores contemporâneos.

Beppo Levi (1875-1961) foi um matemático tão versátil como distinto. Mesmo tendo trabalhado principalmente com geometria algébrica, fez importantes incursões em outros campos, tais como a análise matemática, a teoria dos números, a teoria dos conjuntos, a lógica e a dialética da matemática. Semelhante universalidade é inconcebível hoje em dia, em parte porque se sabe muitíssimo mais, em parte porque se superestimam a especialização, sem reparar que as fronteiras entre as disciplinas são, em grande medida, artificiais.

Afirma-se que, entre 1897 e 1909, Levi participou ativamente em todos os novos desenvolvimentos da matemática da época (Schappacher e Schoof, 1996). Seu nome aparece associado, direta ou indiretamente, aos nomes de quase todos os grandes matemáticos de seu tempo, entre outros, Hilbert, Lebesgue e Poincaré. Além disso suas contribuições pertencem à pré-história de vários ramos da matemática que emergiram depois de Levi.

Entre outras coisas, Levi talvez tenha sido o primeiro a formular explicitamente e a criticar o axioma da escolha, usualmente atribuído a Zermelo (Moore, 1982). Descobriu que estava sendo utilizado tacitamente em muitas demonstrações matemáticas (tal axioma continua sendo motivo de estudos). Mas Levi é bem mais conhecido pelo lema que leva seu nome, e que se refere a integrais de sucessões monótonas de funções. Também é conhecido por seu estudo, mais importante, de singularidades de superfícies algébricas.

Ironicamente, esse grande homem tem sido considerado o matemático mais baixinho do século. Era corcunda, tinha uma voz estridente e era casado com uma mulher linda, com quem teve três filhos, entre eles Laura, a física da família. Embora Levi não tenha passado no exame de pureza racial, viveu muito mais anos, comportou-se muitíssimo melhor, concebeu e criou mais filhos e mais ideias que seu perseguidor.

A legislação anti-semita promulgada pelo governo fascista italiano em 1938 privou Levi de sua cátedra em Bolonha e o obrigou a emigrar junto com a família. Aos 64 anos de idade, recomeçou a vida: veio parar no ramo de Rosario da Universidade Nacional do Litoral. Isso se deveu à gestão de seu ilustrado reitor, o engenheiro Cortés Plá, e do matemático Julio Rey pastor, grande incentivador da ciência na Argentina e na Espanha.

Em sua nova Pátria, Levi fez um pouco de tudo. Deu cursos para estrangeiros; em 1940, fundou e dirigiu o Instituto de Matemática e sua revista , Mathematicae Notae; estimulou os poucos jovens que se interessavam pela Matemática pura; participou de reuniões de físicos; continuou cultivando as humanidades e inclusive encontrou tempo para responder algumas questões matemáticas formuladas por alunos e colaboradores.

Aprenderão com este livro a ver Euclides e inclusive seu mestre Platão, através dos olhos modernos.

Mario Bunge
Foundations and Philosophy of Science Unit
MCGill University, Montreal

Referências bibliográficas:

– Hilbert, D. “Axiomatisches Denken”, in Gesammelte Abhandlungen, vol. 3. Berlim: Julius Springer, 1918.

– Moore, G. E. Zermelo’s Axioms of Choice. Nova York: Springer-Verlag, 1982.

– Schappacher, N. e Schoof, R. “Beppo Levi and the arithmetic of elliptic curves”, in The Mathematical Intelligencer 18: 57-69, 1996.

adaptado por Gilberto dos Santos Alves
com base em livros e artigos da Biblioteca de São Paulo – agosto de 2013.